[論理学]戸田山本 3.9

戸田山和久『論理学をつくる』

名古屋大学出版会

私が『論理学をつくる』で論理学の勉強をする。

しだいに証明問題がむずかしくなる。証明問題の解答はむずかしい。受験参考書のように、「これが書けていれば5点」など、採点の指示を与えてほしいものだ。

■ 3.9 真理関数という考え方:前

• 3.9.1 真理関数とは何か
• 3.9.2 真理関数は何通りあるか

真理関数(truth-function)

真理値の集合の直積から {1, 0} への関数のことだよ。

実現(realize), 表現(express)

真理関数を論理式によって表すこと。ひとつの真理関数を実現する論理式は複数ある。例えば、input が{1} output が{1} の真理関数は、P∧￢P, P, P→P などによって実現されるよ。

真理関数の一般的定義

{1, 0}^n から {1, 0} への関数を n 変数の真理関数と呼ぶよ。

ちなみに n 変数の真理関数は 2^2^n 個あるよ。

■ 3.9 真理関数という考え方:後

• 3.9.3 真理関数の表現定理
• 3.9.4 どのような結合子の組み合わせが十全なのか
• 3.9.5 シェーファーの魔法の棒

定理17(表現定理 / 関数的完全性の定理)

￢, ∧, ∨ のみを結合してして含む論理式によって、n 変数の真理関数はすべて表せる。

十全(adequate) / 関数的に完全(functionally complete)

これは結合子の集合に対して使う言葉だよ。その結合子集合で n 変数の真理関数はすべて表せるという意味だよ。

{￢, ∧}, {￢, ∨}, {￢, →} は十全だよ。

シェーファーの棒(Sheffer stroke)

A | B は ￢(A∧B) と同値だよ。これは"nand" と読むよ。シェーファーの棒とも呼ぶよ。この結合子は1つだけで十全だよ。

シェーファー関数

1つで十全であるような真理関数のことだよ。

定理19

2変数のシェーファー関数は、| と ↓だけだよ。

■ 3.10 日本語の「ならば」と論理学の「→」

• 3.10.1 「→」に感じる違和感
• 3.10.2 「→」の定義の正当化

「→」は「ならば」の近似だけど、だいぶ違和感があるよ。

関連性(relevance)にかかわる違和感

日本語の「ならば」は前件と後件の間に内容上の関連性があるよ。「→」は真理値の組合せだけを問題にするよ。このような現象を関連性にかかわる違和感というよ。

しかし「→」は「ならば」の重要な特徴を反映しているよ。

(1)逆は必ずしも真ならず

「A ならば B」が成り立つからといって、「B ならば A」が成り立つとはかぎらない。

(2)推移性

「A ならば B でありしかも B ならば C であるならば、A ならば C である」がトートロジーだよ。