うつし世はゆめ / 夜のゆめもゆめ

戸田山和久『論理学をつくる』

名古屋大学出版会

私が『論理学をつくる』で論理学の勉強をする。

第1章から第2章までの用語を整理するよ。

■論理学の対象

論理学の対象は以下の三つだよ。

• 論理的帰結／論証の妥当性
• 矛盾
• 形式的真理

形式的真理とは

「～は…であるかないかいずれかである」のような、形式だけで真理であることが自明な命題のことだよ。

上記の三つは実は同じところに通じるよ。

■論証の正しさ

論証の正しさと命題の正しさを区別しよう。

真(true) / 偽(false)とは

命題が正しいかどうかについては真 / 偽という語を使おう。

妥当(valid) / 非妥当(invalid)とは

論証が正しいかどうかについては妥当 / 非妥当という語を使おう。

論理学が扱うのは論証の妥当 / 非妥当の方だよ。

妥当性は論理の形式に関わるよ。

論理形式とは

論理定項だけを残し、他を一般化したもの。

論理定項(logical constant)とは

接続詞(「または」など)、量化詞(「すべて」など)、否定詞(「でない」など)など論理に関わる語のことだよ。論理定項とそれ以外の区別は一概に言えないよ。

■人工言語 L

自然言語の場合、論理形式と文法形式が一致しないことがある。人工言語を使うことにしよう。

単純命題とは

肯定文の単文の命題だよ。

複合命題とは

単純命題を組み合わせた命題だよ。

ただし何が単純命題であるかは論証によって異なるよ。

原子式(atomic formula)とは

単純命題を記号化したものだよ。

論理結合詞(logical connective)とは

∧、∨、￢、→のことだよ。

∧、∨、￢、→。これらの結合詞は真理関数的だよ。

真理関数的とは(truth-functional)

要素の真偽が決まれば、その結合詞で結ばれた全体の真偽も決まるようなタイプの結合詞のことだよ。この本では真理関数的な結合詞のみを使うよ。

■人工言語 L の定義

語彙

(1)原子式

⇒P, Q, R または P1, P2, P3

(2)結合詞

(3)補助記号

⇒(,)

文法

(1) 原子式は論理式だよ。

(2) A, B が論理式のとき、(A∧B)(A∨B)(A→B)(￢A)は論理式だよ。

(3) (1)(2)によって論理式とされるものだけを論理式とするよ。

このような定義を帰納的定義(inductive definition)または回帰的定義(recursive definition)というよ。

形成の木(formation tree)とは

論理式がどのように作られたかを示す図のことだよ。

変数記号(variable)とは

上の文法定義では A, B という記号を使った。これらはいろいろなものを一括して指し示すための記号で変数記号というよ。人工言語 L について自然言語で話すための記号だよ。

このような記号をメタ論理的変項(meta-logical variable)または図式文字(schematic letter)というよ。

■帰納的証明

式の長さについての帰納法による証明

人工言語 L の文法を帰納的に定義したから、帰納的証明が可能になったよ。論理学で使う帰納的証明を「式の長さについての帰納法による証明」と呼ぶよ。

Unique Readability Theoram

論理式が一通りにしか読めないということの証明のことだよ。

■いくつかの用語

部分論理式(subformula)

論理式 A の形成の木に現れる A 以外の論理式のこと。

主結合詞(main connective)

形成の木の最後に導入された結合詞のこと。

主部分論理式(main subformula)

主結合詞が結ぶ部分論理式のこと。

選言肢(disjunct)

A∨B の A と B のこと。

連言肢(conjunct)

A∧B の A と B のこと。

前件(antecedent)

A→B の A のこと。

後件(consequent)

A→B の B のこと。

リテラル(literal)

P, Q, ￢P, ￢Q のこと。

正リテラル(positive literal)

P, Q のこと。

負リテラル(negative literal)

￢P, ￢Q のこと。