[論理学]戸田山本 4.1

戸田山和久『論理学をつくる』

名古屋大学出版会

私が『論理学をつくる』で論理学の勉強をする。

(↑やっと Youtube をやめた)

タブロー描きは楽しいなっと。

第4章 機械もすなる論理学

■4.1 意味論的タブローの方法

• 4.1.1 機械的な判定法を作ろう
• 4.1.2 タブローのルーツ
• 4.1.3 機械的方法にしてゆくためのヒント
• 4.1.4 タブローを汎用的な方法にする
• 4.1.5 閉鎖経路と閉鎖タブロー
• 4.1.6 人間らしくタブローを描こう ― タブロー構成の攻略法
• 4.1.7 妥当性、トートロジー性、論理的同値性の判定とタブロー

妥当性、矛盾、トートロジーなどを判定する決定手続き(decision procedure)はアルゴリズムでなければならないよ。

アルゴリズム(algorithm)

次の条件を満たす手続きのことだよ。

(1)明確性。次の操作が1つに決まるよ。

(2)汎用性。どのような論証や論理式に対しても使えるわ。

(3)有限性。手続きの実行が有限数のステップで終わらなければならないよ。

真理の木(truth tree), 意味論的タブロー(semantic tableau), 分析タブロー(analytic tableau)

真理表よりも使いやすいアルゴリズムだよ。ヒンティッカのモデル集合の考え方を応用し、スマリヤンらが広めたんだって。

タブローの書き方

(1)はじめに、チェックする論理式を縦に列挙してね。

(2)∧で結ばれた論理式は縦に並べる。∨で結ばれた論理式は2つに分岐するよ。

(3)￢Aはそのまま書いてね。

(4)他の結合子は∧∨￢の組合せで表現するよ。結合子をタブロー上に表現する方法を展開規則というよ。

(5)ある経路にAと￢Aがともに現れた場合は末端に×をつけてね。この経路は矛盾するの。

経路(path)

タブローのてっぺんからひとつの末端までをたどり、そこに含まれる論理式を集めてつくった式集合のことだよ。

閉鎖経路(closed path)

末端に×のついた経路だわ。双でない経路は「開放経路(open path)というわ。

閉鎖タブロー(closed tableau)

すべての経路が閉鎖経路であるようなタブローのことだよ。また、そのタブローは閉じて終わる、というよ。

適用可能な展開規則をすべて適用し終わった段階で、まだ1つでも開放経路が残っているタブローを開放タブロー(open tableau)というの。またそのタブローは開いて終わる、というの。

判定基準(矛盾)

論理式の集合{A1, A2,...,A3}が矛盾している ⇔ A1, A2, ..., An を縦に並べてはじめたタブローが閉鎖タブローになるんだって。

判定基準(妥当)

前提 A1, ..., An から結論 C を導く論証が妥当である ⇔ A1, ..., An および ￢C を縦に並べたものからはじめたタブローが閉鎖タブローになる。

判定基準(トートロジー)

論理式 A がトートロジーである ⇔ ￢A からはじめたタブローが閉鎖タブローになる。